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中学 図形

図を 描いて、印を入れて 解く。等しい角に同じ印、等しい辺に同じ斜線。

目次

Unit 1 — 平面図形

角度の基本、平行線と角、多角形の内角・外角 を計算できる。

① 平行線と角（同位角・錯角）

図 1-A：l // m のとき、同位角・錯角は等しい
l m n a a' 同位角 a = a'（平行線では同じ位置の角は等しい）
l // m なら同位角は等しい。錯角（Z字の角）も等しい。

② 多角形の内角・外角

n 角形の内角の和 = 180°(n − 2)　／　外角の和は 常に 360°

③ 練習問題

練習問題 — Unit 1 平面図形（5問）

  1. geo-1-q1 三角形の 2 つの角が 50°、70° のとき、残りの角の大きさを求めよ。
    答: 60°（180 − 50 − 70 = 60）
  2. geo-1-q2 2 直線 l と m が平行で、l と直線 n が作る角が 65° のとき、m と n の同位角は何度か。
    答: 65°（平行 → 同位角は等しい）
  3. geo-1-q3 入試頻出 次を求めよ。
    (1) 五角形の内角の和　(2) 六角形の内角の和　(3) 正八角形の 1 つの内角
    答: (1) 540°　(2) 720°　(3) 135°
    1. n 角形の内角の和 = 180°(n − 2)
    2. (1) 180·(5−2) = 540°　(2) 180·(6−2) = 720°
    3. (3) 正八角形は内角がすべて等しい: 180·(8−2)/8 = 1080/8 = 135°
  4. geo-1-q4 次を求めよ。
    (1) 正六角形の 1 つの外角　(2) 正十二角形の 1 つの外角
    答: (1) 60°　(2) 30°
    外角の和は 360°。正n角形なら 360 ÷ n。
  5. geo-1-q5 三角形の 1 つの外角が 110°、その外角の 内対角 の 1 つが 45° のとき、もう 1 つの内対角を求めよ。
    答: 65°
    三角形の外角 = 残り 2 つの内対角の和 → 110 = 45 + x → x = 65°
  6. geo-1-q6 2 直線 l と m が平行で、l と直線 n の同位角が 60° のとき、l と n の作る対頂角の大きさを答えよ。
    答: 60°（対頂角はいつでも等しい）
  7. geo-1-q7 対角線の本数を求めよ。
    (1) 五角形　(2) 八角形
    答: (1) 5 本　(2) 20 本
    1. n 角形の対角線の本数 = n(n − 3) ÷ 2
    2. (1) 5·2/2 = 5　(2) 8·5/2 = 20
  8. geo-1-q8 入試頻出 ある正多角形の 1 つの内角が 135° である。この多角形は何角形か。
    答: 正八角形
    1. 外角は 180 − 135 = 45°
    2. 外角の和は 360° なので 360 ÷ 45 = 8 個 → 正八角形
  9. geo-1-q9 次の正多角形の 1 つの内角を求めよ。
    (1) 正三角形　(2) 正方形　(3) 正六角形
    答: (1) 60°　(2) 90°　(3) 120°　（正n角形は内角 = 180(n−2)/n）
  10. geo-1-q10 △ABC で ∠A = 80°、 ∠B の二等分線と ∠C の二等分線の交点を I とするとき、 ∠BIC の大きさを求めよ。
    答: 130°
    1. ∠B + ∠C = 180 − 80 = 100°
    2. 二等分線で (1/2)∠B + (1/2)∠C = 50°
    3. △IBC で ∠BIC = 180 − 50 = 130°
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Unit 2 — 空間図形

柱・錐・球の 体積と表面積 を、公式を使って計算できる。

① 公式まとめ

図 2-A：体積・表面積の公式
柱 体積 = 底面積 × 高さ　　 表面積 = 底面積×2 + 側面積 錐 体積 = (1/3) × 底面積 × 高さ 円柱 V = πr²h　S = 2πr² + 2πrh 円錐 V = (1/3)πr²h　側面積 = πrℓ 球 V = (4/3)πr³　　 S = 4πr²
「錐は柱の 1/3」「球は 表面積も体積も 4 で始まる」と覚える。

② 練習問題

練習問題 — Unit 2 空間図形（5問）

  1. geo-2-q1 縦 4cm、横 5cm、高さ 3cm の直方体の体積と表面積を求めよ。
    答: 体積 60 cm³、表面積 94 cm²
    V = 4×5×3 = 60。 S = 2(4·5 + 5·3 + 3·4) = 2·47 = 94。
  2. geo-2-q2 入試頻出 半径 3cm、高さ 5cm の円柱の体積と表面積を求めよ。
    答: 体積 45π cm³、表面積 48π cm²
    1. V = πr²h = π·9·5 = 45π
    2. 底面積×2 = 18π、側面積 = 2πr·h = 2π·3·5 = 30π
    3. S = 18π + 30π = 48π
  3. geo-2-q3 底面の半径 3cm、高さ 4cm の円錐の体積と表面積を求めよ。
    答: 体積 12π cm³、表面積 24π cm²
    1. V = (1/3)·π·9·4 = 12π
    2. 母線 ℓ = √(3² + 4²) = √25 = 5（三平方）
    3. 側面積 = πrℓ = π·3·5 = 15π
    4. 表面積 = 底面積 + 側面積 = 9π + 15π = 24π
  4. geo-2-q4 半径 3cm の球の体積と表面積を求めよ。
    答: 体積 36π cm³、表面積 36π cm²
    V = (4/3)·π·27 = 36π。 S = 4π·9 = 36π。 偶然どちらも 36π。
  5. geo-2-q5 入試頻出 底面が 3 辺 3cm、4cm、5cm の直角三角形（斜辺 5cm）で、高さ 6cm の三角柱の体積と表面積を求めよ。
    答: 体積 36 cm³、表面積 84 cm²
    1. 底面積 = (1/2)·3·4 = 6 cm²
    2. V = 底面積 × 高さ = 6·6 = 36
    3. 側面積 = 周の長さ × 高さ = (3+4+5)·6 = 72
    4. S = 底面積×2 + 側面積 = 12 + 72 = 84
  6. geo-2-q6 1 辺 7cm の立方体の体積を求めよ。
    答: 343 cm³（7³ = 343）
  7. geo-2-q7 縦 5cm、横 6cm、高さ 7cm の直方体の表面積を求めよ。
    答: 214 cm²
    2(5·6 + 6·7 + 7·5) = 2(30 + 42 + 35) = 2·107 = 214。
  8. geo-2-q8 底面が 直角をはさむ 2 辺が 3cm、4cm の直角三角形で、高さ 6cm の三角錐の体積を求めよ。
    答: 12 cm³
    底面積 = (1/2)·3·4 = 6。 V = (1/3)·6·6 = 12。
  9. geo-2-q9 入試頻出 底面の半径 3cm、母線 7cm の円錐の 側面積 を求めよ。
    答: 21π cm²（πrℓ = π·3·7 = 21π）
  10. geo-2-q10 半径 3cm の半球（球の半分）の体積を求めよ。
    答: 18π cm³
    球の体積 (4/3)π·27 = 36π、 その半分で 18π。
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Unit 3 — 合同と証明

3 つの 合同条件 を使って、図形の合同を 記号で証明 できるようになる。

① 三角形の合同条件（3 つ）

図 3-A：3 つの合同条件
① 3 組の辺が等しい 3 SIDES (SSS) ② 2 辺と その間の角 2 SIDES + ANGLE between (SAS) ③ 1 辺と その両端の角 1 SIDE + 2 ANGLES at ends (ASA)
「3辺」「2辺+間の角」「1辺+両端の角」。直角三角形には「斜辺と1鋭角」「斜辺と他の1辺」の特別条件あり。

② 証明の書き方（型）

証明 4 ステップ

  1. △ABC と △DEF において（どの2つを比べるか宣言）
  2. 仮定から等しいものを並べる（① AB=DE, ② ∠B=∠E, …）
  3. 使った合同条件を書く（「2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい」など）
  4. 結論：「よって △ABC ≡ △DEF」

③ 練習問題

練習問題 — Unit 3 合同と証明（5問）

  1. geo-3-q1 三角形の合同条件を 3 つ書きなさい。
    答:
    ① 3 組の辺がそれぞれ等しい
    ② 2 組の辺とその間の角がそれぞれ等しい
    ③ 1 組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい
  2. geo-3-q2 直角三角形の合同条件を 2 つ書きなさい。
    答: ① 斜辺と 1 つの鋭角がそれぞれ等しい　② 斜辺と他の 1 辺がそれぞれ等しい
  3. geo-3-q3 △ABC と △DEF で AB = DE, BC = EF, ∠B = ∠E である。
    この 2 つの三角形が合同であることを示し、使った合同条件を書きなさい。
    答: 仮定より AB=DE、BC=EF、∠B=∠E。
    2 組の辺とその間の角がそれぞれ等しい ので、△ABC ≡ △DEF。
  4. geo-3-q4 入試頻出 AB = AC の二等辺三角形 ABC で、∠A = 40° のとき ∠B と ∠C の大きさを求めよ。
    答: ∠B = ∠C = 70°
    底角は等しい: (180 − 40) ÷ 2 = 70°
  5. geo-3-q5 平行四辺形 ABCD で、対角線 AC を引くと △ABC と △CDA は合同になる。これを証明せよ。
    証明: △ABC と △CDA において、
    ① AB = CD（平行四辺形の対辺は等しい）
    ② BC = DA（平行四辺形の対辺は等しい）
    ③ AC = CA（共通）
    3 組の辺がそれぞれ等しい ので △ABC ≡ △CDA。■
    1. 共通な辺を必ず探す（AC = CA は同じ辺だが、頂点順序を合わせて書く）。
    2. 「平行四辺形の対辺は等しい」 が仮定として使える。
  6. geo-3-q6 AB = AC の二等辺三角形 ABC で ∠B = 65° のとき、 ∠A の大きさを求めよ。
    答: 50°　（底角が等しい: ∠C = ∠B = 65°、 ∠A = 180 − 130 = 50°）
  7. geo-3-q7 正三角形の 1 つの内角は何度か。
    答: 60°（3 つの角が等しく、合計 180°）
  8. geo-3-q8 斜辺 5cm、 直角をはさむ 1 辺が 3cm の直角三角形が 2 つある。 これらは合同か。 理由も答えよ。
    答: 合同。 直角三角形で「斜辺と他の 1 辺がそれぞれ等しい」から合同。
    （残りの辺も三平方より √(25−9) = 4 で一致する。）
  9. geo-3-q9 平行四辺形の対辺の長さが 4cm と 7cm のとき、 周の長さを求めよ。
    答: 22 cm（対辺は等しい → 2(4+7) = 22）
  10. geo-3-q10 入試頻出 AB = AC の二等辺三角形 ABC で、頂点 A から底辺 BC に下ろした垂線の足を M とする。 △ABM ≡ △ACM を示せ。
    証明: △ABM と △ACM において、
    ① AB = AC（仮定、二等辺の等しい 2 辺）
    ② ∠AMB = ∠AMC = 90°（垂線）
    ③ AM = AM（共通）
    直角三角形で 斜辺と他の 1 辺がそれぞれ等しい ので △ABM ≡ △ACM。 ■
    1. 直角三角形では「斜辺＋鋭角」「斜辺＋他の1辺」の 2 つの特別な合同条件 が使える。
    2. 共通辺と直角を明示すれば、ほぼ完成。
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Unit 4 — 相似

形が同じで大きさが違う 関係。相似比 k から、面積比 k²、体積比 k³ へつなげる。

① 相似条件（3 つ）

  1. 3 組の辺の比がすべて等しい
  2. 2 組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい
  3. 2 組の角がそれぞれ等しい（AA）

② 相似比と面積比・体積比

図 4-A：相似比 k → 面積比 k² → 体積比 k³
相似比 k 例 1:2 面積比 k² 例 1:4 体積比 k³ 例 1:8
相似比 1:2 なら、面積比 1:4、体積比 1:8。長さ→1乗、面積→2乗、体積→3乗。

③ 中点連結定理

△ABC の辺 AB、AC の中点を M、N とすると、MN // BC かつ MN = BC ÷ 2。

④ 練習問題

練習問題 — Unit 4 相似（5問）

  1. geo-4-q1 相似条件を 3 つ書きなさい。
    答: ① 3 組の辺の比がすべて等しい　② 2 組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい　③ 2 組の角がそれぞれ等しい
  2. geo-4-q2 △ABC ∽ △DEF で、AB = 6, DE = 9, BC = 8 のとき、EF の長さを求めよ。
    答: 12　検算: 8:12 = 2:3 ✓
    1. 相似比 AB:DE = 6:9 = 2:3
    2. BC:EF = 2:3 → 8:EF = 2:3 → EF = 8 × 3/2 = 12
  3. geo-4-q3 入試頻出 相似な 2 つの図形があり、相似比は 2:3 である。
    (1) 面積の比　(2) 体積の比 を求めよ。
    答: (1) 4:9　(2) 8:27
    面積比 = 相似比の 2 乗、体積比 = 相似比の 3 乗。
  4. geo-4-q4 △ABC で、辺 AB 上に点 P、辺 AC 上に点 Q を、AP:PB = AQ:QC = 1:2 となるようにとる。
    BC = 12cm のとき、PQ の長さを求めよ。
    答: 4 cm
    1. AP:AB = 1:3、AQ:AC = 1:3、∠A は共通 → △APQ ∽ △ABC（2辺の比とその間の角）
    2. 相似比 1:3 → PQ:BC = 1:3 → PQ = 12 × 1/3 = 4 cm
  5. geo-4-q5 入試頻出 △ABC で、AB = 8, AC = 6, BC = 10。 M を辺 AB の中点、N を辺 AC の中点とするとき、MN の長さを求めよ。
    答: 5
    中点連結定理: MN = BC ÷ 2 = 10 ÷ 2 = 5。
  6. geo-4-q6 相似な 2 つの図形の相似比が 3 : 5 のとき、周の長さの比を答えよ。
    答: 3 : 5（長さは 1 乗だから相似比と同じ）
  7. geo-4-q7 入試頻出 縮尺が 1 : 50000 の地図上で、 ある 2 地点間の長さが 2 cm だった。 実際の距離を答えよ。
    答: 1 km
    1. 実際の長さ = 地図上の長さ × 50000 = 2 × 50000 = 100000 cm
    2. 100000 cm = 1000 m = 1 km
  8. geo-4-q8 相似比 1 : 3 の 2 つの三角形があり、小さい方の面積が 5 cm² のとき、大きい方の面積を求めよ。
    答: 45 cm²（面積比 1:9、 5 × 9 = 45）
  9. geo-4-q9 △ABC で 辺 AB 上に点 P、辺 AC 上に点 Q をとり、PQ // BC、AP : PB = 2 : 3 のとき、 AQ : QC を答えよ。
    答: 2 : 3（平行線と比の定理）
  10. geo-4-q10 △ABC で AB = 12, BC = 8, CA = 10。 各辺の中点を結んでできる三角形の周の長さを求めよ。
    答: 15
    中点連結定理で 各中点を結ぶ辺はもとの 1/2: 6+4+5 = 15。
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Unit 5 — 円

円周角の定理 と 接線の性質 を、図と式で使えるようになる。

① 円周角の定理

図 5-A：円周角は中心角の半分
O A B 2θ 中心角 P θ 円周角 中心角 ＝ 2 × 円周角
同じ弧 AB に対して、中心角は円周角の 2 倍。半円の円周角は 90°。

② 接線

③ 練習問題

練習問題 — Unit 5 円（5問）

  1. geo-5-q1 入試頻出 円 O で、弧 AB に対する円周角 ∠APB = 35° のとき、中心角 ∠AOB の大きさを求めよ。
    答: 70°（中心角 = 2 × 円周角）
  2. geo-5-q2 同じ円の弧 AB に対する円周角 ∠APB = 40° のとき、別の点 Q から見た ∠AQB の大きさを求めよ。
    答: 40°（同じ弧に対する円周角は等しい）
  3. geo-5-q3 入試頻出 直径 10cm の円の周上に点 P があり、線分 AP = 8cm（A, B は直径の両端）。BP の長さを求めよ。
    答: 6 cm
    1. AB が直径 → ∠APB = 90°（半円の円周角）
    2. 三平方: AB² = AP² + BP² → 10² = 8² + BP²
    3. BP² = 100 − 64 = 36 → BP = 6
  4. geo-5-q4 半径 5cm の円 O の外にある点 P から円に接線を引き、接点を T とする。OP = 13cm のとき、接線 PT の長さを求めよ。
    答: 12 cm
    1. 接線と半径は垂直 → ∠OTP = 90°
    2. 三平方: OP² = OT² + PT² → 169 = 25 + PT²
    3. PT² = 144 → PT = 12
  5. geo-5-q5 円 O の外の点 P から 2 本の接線を引き、接点をそれぞれ A, B とする。PA = 7cm のとき、PB の長さを求めよ。
    答: 7 cm（円外の 1 点からの 2 本の接線の長さは等しい）
  6. geo-5-q6 円 O で 弧 AB の中心角が 100° のとき、 同じ弧に対する円周角の大きさを答えよ。
    答: 50°（円周角 = 中心角 ÷ 2）
  7. geo-5-q7 円 O で 弧 AB に対する円周角が 30° のとき、 中心角を答えよ。
    答: 60°（中心角 = 円周角 × 2）
  8. geo-5-q8 入試頻出 円に内接する △ABC で ∠BAC = 40°、 ∠ABC = 60° のとき、 ∠ACB の大きさを求めよ。
    答: 80°（三角形の内角の和 180° − 40° − 60° = 80°）
  9. geo-5-q9 円外の点 P から円に接線を引き、接点を A とする。 半径 5 cm、 PA = 12 cm のとき、 OP の長さを求めよ。
    答: 13 cm
    1. 接線と半径は垂直 → ∠OAP = 90°
    2. 三平方: OP2 = OA2 + PA2 = 25 + 144 = 169 → OP = 13
  10. geo-5-q10 半径 5 cm の円に内接する正六角形の 1 辺の長さを求めよ。
    答: 5 cm
    正六角形は中心と各頂点を結ぶと 6 個の正三角形に分けられる → 1 辺 = 半径 = 5。
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Unit 6 — 三平方の定理

直角三角形の 3 辺の関係 a² + b² = c² を、平面・空間どちらでも使えるようになる。

① 三平方の定理

図 6-A：a² + b² = c²
a b c (斜辺) a² ＋ b² ＝ c² 直角をはさむ 2 辺の 2乗の和 ＝ 斜辺の 2乗
直角三角形でだけ成り立つ最強の定理。斜辺（直角の向かい側）が c。

② 覚えるべき直角三角形

図 6-B：3 つの「覚える」直角三角形
3 4 5 3 : 4 : 5 1 1 √2 45-45-90 1:1:√2 √3 1 2 30-60-90 1:√3:2
この 3 つは 暗記。問題でこれが見えたら即変換。

③ 練習問題

練習問題 — Unit 6 三平方の定理（5問）

  1. geo-6-q1 直角三角形の直角をはさむ 2 辺が 3cm、4cm のとき、斜辺の長さを求めよ。
    答: 5 cm（3² + 4² = 25 → 斜辺 = 5）
  2. geo-6-q2 斜辺が 13cm、他の 1 辺が 5cm の直角三角形がある。残りの辺の長さを求めよ。
    答: 12 cm（5² + b² = 13² → b² = 144 → b = 12）
  3. geo-6-q3 1 辺が 3√2 cm の正方形の対角線の長さを求めよ。
    答: 6 cm
    正方形の対角線 = 1辺 × √2 → 3√2 × √2 = 3·2 = 6。
  4. geo-6-q4 入試頻出 ある直角三角形の角が 30°、60°、90° で、最も短い辺の長さが 3cm のとき、他の 2 辺を求めよ。
    答: 残りの辺 3√3 cm（60° の向かい）、斜辺 6 cm（直角の向かい）
    1. 30-60-90 の辺の比 = 1 : √3 : 2（短い順）。
    2. 最も短い辺は 30° の向かい → 3 cm。比 1 → 3。
    3. 残りの辺は √3 → 3√3、斜辺は 2 → 6。
  5. geo-6-q5 入試頻出 次の直方体の対角線の長さを求めよ。
    (1) 1 辺 4cm の立方体　(2) 縦 3cm、横 4cm、高さ 12cm の直方体
    答: (1) 4√3 cm　(2) 13 cm
    1. 直方体の対角線の公式: d = √(a² + b² + c²) 「底面の対角線」と「高さ」でもう一度三平方。
    2. (1) d = √(4² + 4² + 4²) = √48 = 4√3
    3. (2) d = √(9 + 16 + 144) = √169 = 13
  6. geo-6-q6 斜辺の長さが 8 cm の直角二等辺三角形の、 他の 2 辺の長さを求めよ。
    答: 4√2 cm（2 辺とも同じ）
    辺の比 1:1:√2、 斜辺 = a√2 = 8 → a = 8/√2 = 4√2。
  7. geo-6-q7 入試頻出 1 辺 6 cm の正三角形の高さを求めよ。
    答: 3√3 cm
    1. 頂点から底辺に垂線を下ろすと、 30-60-90 の直角三角形ができる。
    2. 底辺の半分 = 3、 斜辺 = 6、 高さ = h。 三平方: 32 + h2 = 62 → h² = 27 → h = 3√3
    3. または辺の比 1:√3:2 → 高さ = 3·√3 = 3√3
  8. geo-6-q8 3 辺の長さが 5, 12, 13 の三角形は直角三角形か。 理由とともに答えよ。
    答: 直角三角形（5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13²）
    三平方の定理の 逆 より、 もっとも長い辺の 2 乗が、他の 2 辺の 2 乗の和に等しいなら直角三角形。
  9. geo-6-q9 1 辺 2 cm の立方体の対角線の長さを求めよ。
    答: 2√3 cm（d = √(4+4+4) = √12 = 2√3）
  10. geo-6-q10 入試頻出 座標平面上の 2 点 A(1, 2), B(4, 6) の距離を求めよ。
    答: 5
    1. x の差 = 4 − 1 = 3、 y の差 = 6 − 2 = 4
    2. 距離は直角三角形の斜辺: √(32 + 42) = √25 = 5
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