← 目次に戻る 関数

中学 関数

「x が決まれば y が決まる」関係を、式 → 表 → グラフ の3つの顔で見る。

目次

Unit 1 — 比例と反比例

比例 y = ax、反比例 y = a/x の式・表・グラフを行き来できる。比例定数 a の意味を掴む。

① 比例：y = ax

x が 2倍、3倍 になると y も 2倍、3倍 になる関係。a を比例定数 という。

y = ax　 ／ a = y ÷ x（x ≠ 0）

図 1-A：比例のグラフ（原点を通る直線）
x y O 1 2 3 −1 −2 1 2 −1 y = 2x (1, 2) (2, 4) y = −x
比例のグラフは 原点を通る直線。a が正なら右上がり、負なら右下がり。

② 反比例：y = a/x

x が 2倍 になると y は 1/2倍 になる関係。x と y の 積 xy が一定。

y = a/x　 ／ xy = a（x ≠ 0）

図 1-B：反比例のグラフ（双曲線）
x y O y = 6/x x→大 で y→小（互いに反対方向）
反比例のグラフは 双曲線。原点を通らない（x=0 では分母が 0 でアウト）。

a の求め方は同じ「代入」

比例 y = ax も 反比例 y = a/x も、1組の (x, y) を代入 して a を求める。
例：y は x に比例し、x=2 のとき y=8 → 8 = 2a → a = 4 → y = 4x

③ 練習問題

練習問題 — Unit 1 比例と反比例（5問）

  1. fn-1-q1 y は x に比例し、x = 2 のとき y = 8 である。
    (1) y を x の式で表せ。 (2) 比例定数を答えよ。 (3) x = −3 のとき y は?
    答: (1) y = 4x　(2) 4　(3) y = −12
  2. fn-1-q2 y は x に反比例し、x = 3 のとき y = 6 である。
    (1) y を x の式で表せ。 (2) x = 4 のとき y は?
    答: (1) y = 18/x　(2) y = 18/4 = 9/2
    1. 反比例の式 y = a/x に代入: 6 = a/3 → a = 18
    2. (2) y = 18/4 = 4.5
  3. fn-1-q3 y = 3x のグラフ上の点で、x = −2 のときの y を求めよ。
    答: y = −6（代入して 3×(−2) = −6）
  4. fn-1-q4 y = −2x で y = 8 のとき、x の値は?
    答: x = −4（8 = −2x → x = −4）
  5. fn-1-q5 反比例 y = 12/x について、x = 4 のとき y を答えよ。また、点 (−3, ?) はこのグラフ上にあるか?
    答: x=4 のとき y = 3。
    x = −3 のとき y = 12/(−3) = −4。よって点 (−3, −4) はグラフ上にある。
  6. fn-1-q6 次の関数のうち、比例 を表すものをすべて選びなさい。
    (a) y = 3x　(b) y = x/2　(c) y = x + 1　(d) y = 5/x　(e) y = x2
    答: (a), (b)　（y = ax の形のもの。(c) は一次関数、(d) は反比例、(e) は2乗の関数）
  7. fn-1-q7 上の (a)〜(e) のうち、反比例 を表すものを選びなさい。
    答: (d) y = 5/x（y = a/x の形）
  8. fn-1-q8 原点と点 (3, 6) を通る比例のグラフがある。 x = 4 のときの y を求めよ。
    答: y = 8
    比例定数 a = 6/3 = 2 → y = 2x。 x=4 → y = 8。
  9. fn-1-q9 反比例のグラフが点 (4, 3) を通る。 x = 6 のときの y を求めよ。
    答: y = 2
    a = xy = 12 → y = 12/x。 x=6 → y = 2。
  10. fn-1-q10 入試頻出 ばねに 50g のおもりをつるすと、 ばねは 2 cm 伸びる。 ばねの伸びは、おもりの重さに比例する。
    (1) 比例定数（伸び ÷ 重さ）と式を求めよ。
    (2) 150 g のおもりをつるすとき、ばねは何 cm 伸びるか。
    答: (1) 比例定数 0.04（または 1/25）、式 y = 0.04x
    (2) 6 cm（150 × 0.04 = 6）　検算 50:2 = 150:6 ✓
📊 Unit 1— / 5 問苦手マップ →

Unit 2 — 一次関数 y = ax + b

a（傾き＝変化の割合）と b（切片＝y軸との交わり）が読めるようになる。

① グラフの2つの目印

図 2-A：傾き a と 切片 b
x y y = 2x + 1 切片 (0, 1) 傾き = 2 （x が 1 増えると 　y は 2 増える） O
切片 b（y軸との交点）を打って、傾き a（右に1、上に a）でもう1点を取れば、直線が引ける。

② 変化の割合 = 傾き a

変化の割合 = (y の増加量) ÷ (x の増加量) = a

一次関数では 変化の割合 = 傾き a で常に一定。

③ 練習問題

練習問題 — Unit 2 一次関数（5問）

  1. fn-2-q1 一次関数 y = 3x − 4 について次に答えよ。
    (1) 傾き　(2) 切片　(3) x = 2 のときの y
    答: (1) 3　(2) −4　(3) y = 2（3·2−4=2）
  2. fn-2-q2 入試頻出 グラフが 2 点 (1, 5)、(3, 11) を通る一次関数の式を求めよ。
    答: y = 3x + 2　検算: x=3: 9+2=11 ✓
    1. 傾き a を変化の割合で計算: a = (11 − 5)/(3 − 1) = 6/2 = 3
    2. 1 点を代入: 5 = 3·1 + b → b = 2
    3. 式: y = 3x + 2
  3. fn-2-q3 一次関数 y = 2x + 5 で、x が 1 から 4 まで変わるとき、y の増加量を求めよ。
    答: 6
    変化の割合 2 × x の増加量 3 = 6。検算: x=1 で y=7、x=4 で y=13、増加 6 ✓
  4. fn-2-q4 入試頻出 2 直線 y = 2x + 1 と y = −x + 7 の交点を求めよ。
    答: (2, 5)　検算: 2·2+1=5 ✓ −2+7=5 ✓
    1. 連立: 2x + 1 = −x + 7
    2. 3x = 6 → x = 2 → y = 5
  5. fn-2-q5 傾き −2 で、点 (3, 1) を通る直線の式を求めよ。
    答: y = −2x + 7
    y = −2x + b に (3, 1) を代入: 1 = −6 + b → b = 7
  6. fn-2-q6 グラフが 2 点 (0, 3) と (2, −1) を通る一次関数の式を求めよ。
    答: y = −2x + 3
    傾き = (−1−3)/(2−0) = −2、切片 = 3。
  7. fn-2-q7 一次関数 y = −3x + 5 のグラフが点 (a, −4) を通る。 a の値を求めよ。
    答: a = 3（−4 = −3a + 5 → −3a = −9 → a = 3）
  8. fn-2-q8 直線 y = 2x + 1 に平行で、 y軸との交点が (0, −3) である直線の式を求めよ。
    答: y = 2x − 3（平行 → 傾き同じ、切片 −3）
  9. fn-2-q9 入試頻出 20 L の水が入ったタンクから、毎分 2 L の割合で水を出す。 x 分後にタンクに残っている水の量を y L とする。
    (1) y を x の式で表せ（0 ≤ x ≤ 10）。 (2) 7 分後の残量は?
    答: (1) y = 20 − 2x　(2) 6 L（20 − 14 = 6）
  10. fn-2-q10 50 L の水が入ったタンクに、毎分 4 L の割合で水を入れる。 x 分後の水の量 y L を式で表し、 100 L になるのは何分後か求めよ。
    式 y = 50 + 4x、 12.5 分後（4x = 50 → x = 12.5）
📊 Unit 2— / 5 問苦手マップ →

Unit 3 — 一次関数と直線

2 点を通る直線、軸との交点、平行な直線、囲まれた三角形の面積、を計算できるようになる。

① 平行な直線は「傾きが同じ」

2 直線 y = a₁x + b₁ と y = a₂x + b₂ について：

② 練習問題

練習問題 — Unit 3 一次関数と直線（5問）

  1. fn-3-q1 入試頻出 2 点 (−1, 4)、(2, −2) を通る直線の式を求めよ。
    答: y = −2x + 2　検算: x=2: −4+2=−2 ✓
    1. 傾き a = (−2 − 4)/(2 − (−1)) = −6/3 = −2
    2. (−1, 4) を代入: 4 = −2·(−1) + b = 2 + b → b = 2
  2. fn-3-q2 直線 y = −3x + 6 と x 軸・y 軸との交点をそれぞれ求めよ。
    答: x 軸との交点 (2, 0)、y 軸との交点 (0, 6)
    y=0 を代入: 0 = −3x+6 → x = 2。 x=0 を代入: y = 6。
  3. fn-3-q3 直線 y = 3x + 5 に平行で、点 (2, 1) を通る直線の式を求めよ。
    答: y = 3x − 5
    平行 → 傾きも 3。1 = 3·2 + b → b = −5
  4. fn-3-q4 入試頻出 直線 y = −2x + 6、x 軸、y 軸で囲まれる三角形の面積を求めよ。
    答: 9
    1. x 軸との交点: (3, 0)。 y 軸との交点: (0, 6)。 もう1頂点は原点 (0, 0)。
    2. 直角三角形（∠O = 90°）の面積 = (1/2) × 3 × 6 = 9
  5. fn-3-q5 2 直線 y = (1/2)x + 3 と y = 2x の交点を求めよ。
    答: (2, 4)
    (1/2)x + 3 = 2x → 3 = (3/2)x → x = 2, y = 4。検算: (1/2)·2+3=4 ✓
  6. fn-3-q6 直線 y = 2x − 8 の x 軸との交点を求めよ。
    答: (4, 0)（y=0 を代入: 2x = 8 → x = 4）
  7. fn-3-q7 入試頻出 2 点 (−2, 3) と (1, −6) を通る直線の式を求めよ。
    答: y = −3x − 3
    傾き = (−6−3)/(1−(−2)) = −9/3 = −3。 (1, −6) を代入: −6 = −3 + b → b = −3。 検算: x=−2: 6−3=3 ✓
  8. fn-3-q8 直線 y = x + 2、x 軸、y 軸で囲まれる三角形の面積を求めよ。
    答: 2
    x 軸との交点 (−2, 0)、 y 軸との交点 (0, 2)、 原点。 (1/2)·2·2 = 2。
  9. fn-3-q9 次の組のうち、平行な直線の組はどれか。
    (a) y = 3x + 1 と y = 3x − 4　(b) y = 2x + 1 と y = −2x + 1
    答: (a)（傾きが同じ 3、切片が違う → 平行）。 (b) は傾きが逆符号で平行でない。
  10. fn-3-q10 直線 y = 2x + a が 点 (3, 5) を通るとき、a の値を求めよ。
    答: a = −1（5 = 6 + a → a = −1）
📊 Unit 3— / 5 問苦手マップ →

Unit 4 — 関数 y = ax²（放物線）

放物線の形・変化の割合・変域 を扱えるようになる。「一次関数と違って、変化の割合は一定でない」が最大のポイント。

① 放物線の形

図 4-A：y = ax² のグラフ
x y y = x² y = −x² O
a が正なら 下に凸（上向き）、a が負なら 上に凸（下向き）。常に原点（頂点）を通り、y軸対称。

② 変化の割合 — 一次関数とちがう!

一次関数では一定だった「変化の割合」が、y = ax2 では 2 点を結んだ直線の傾き として変わる。

変化の割合 = (y の増加量) ÷ (x の増加量)

裏ワザ：y = ax² の変化の割合は a(p + q)

x が p から q まで変わるとき、y = ax2 の変化の割合は a(p + q) に等しい。
例：y = x² で x が 1 → 3 のとき、変化の割合 = 1·(1 + 3) = 4（検算：(9−1)/2 = 4 ✓）

③ 練習問題

練習問題 — Unit 4 関数 y = ax²（5問）

  1. fn-4-q1 y = 2x2 で x = 3 のときの y を求めよ。
    答: y = 18（2·9 = 18）
  2. fn-4-q2 y は x の 2 乗に比例し、x = 2 のとき y = 12。 y を x の式で表せ。
    答: y = 3x2　検算: 3·4=12 ✓
    y = ax2 に代入: 12 = a·4 → a = 3
  3. fn-4-q3 入試頻出 y = x2 で x が 1 から 3 まで変わるときの変化の割合を求めよ。
    答: 4
    1. x=1 のとき y=1、x=3 のとき y=9。
    2. 変化の割合 = (9 − 1)/(3 − 1) = 8/2 = 4
    3. 裏ワザ: a(p+q) = 1·(1+3) = 4 ✓
  4. fn-4-q4 y = −x2 で x が −2 から 1 まで変わるときの変化の割合を求めよ。
    答: 1
    x=−2: y=−4、x=1: y=−1。 (−1 − (−4))/(1 − (−2)) = 3/3 = 1。
    裏ワザ: a(p+q) = −1·(−2+1) = −1·(−1) = 1 ✓
  5. fn-4-q5 入試頻出 y = x2 で、−1 ≤ x ≤ 3 のときの y の変域を求めよ。
    答: 0 ≤ y ≤ 9
    1. x の範囲 [−1, 3] に 0 が含まれる → 最小値 y = 0 は x=0 で。 放物線 y=x² は x=0 で最小。端の x=−1, x=3 で最大か判定する。
    2. x=−1 で y=1、x=3 で y=9 → 最大 y = 9。
    3. 変域: 0 ≤ y ≤ 9。
    迷ったら → 図 4-A を見直す
  6. fn-4-q6 y = ax² のグラフが点 (2, −8) を通るとき、 a の値と式を求めよ。
    答: a = −2、式 y = −2x2　（−8 = 4a → a = −2）
  7. fn-4-q7 y = −x2 で、−2 ≤ x ≤ 1 のときの y の変域を求めよ。
    答: −4 ≤ y ≤ 0
    1. a が負 → 放物線は上に凸。 x = 0 で 最大 y = 0。
    2. 端の値: x=−2 で y=−4、 x=1 で y=−1 → 最小は −4。
    3. 変域: −4 ≤ y ≤ 0
  8. fn-4-q8 y = ax² のグラフが点 (4, 8) を通る。 a の値を求めよ。
    答: a = 12（8 = 16a → a = 1/2）
  9. fn-4-q9 y = 12x2 で、 x = 4 のとき y を求めよ。
    答: y = 8（(1/2)·16 = 8）
  10. fn-4-q10 入試頻出 y = 2x2 で、 x が −3 から −1 まで変わるときの変化の割合を求めよ。
    答: −8
    1. x = −3 で y = 18、 x = −1 で y = 2。
    2. 変化の割合 = (2 − 18) / (−1 − (−3)) = −16 / 2 = −8
    3. 裏ワザ a(p+q) = 2·(−3+(−1)) = 2·(−4) = −8 ✓
📊 Unit 4— / 5 問苦手マップ →

Unit 5 — 関数の融合問題

放物線と直線、反比例と直線、関数と図形の面積。連立して交点を出す が共通テクニック。

練習問題 — Unit 5 関数の融合（5問）

  1. fn-5-q1 入試頻出 放物線 y = x2 と直線 y = x + 6 の交点を求めよ。
    答: (3, 9) と (−2, 4)
    1. 連立: x2 = x + 6 → x2 − x − 6 = 0
    2. 因数分解: (x − 3)(x + 2) = 0 → x = 3, −2
    3. x = 3 → y = 9、x = −2 → y = 4。検算: 3+6=9 ✓ −2+6=4 ✓
  2. fn-5-q2 放物線 y = x2 上の 2 点 A(2, 4)、B(−3, 9) と原点 O について、△OAB の面積を求めよ。
    答: 15
    1. 直線 AB の式を求める。傾き = (4 − 9)/(2 − (−3)) = −5/5 = −1。
      切片: 4 = −1·2 + b → b = 6。 → y = −x + 6
    2. 直線 AB と y 軸の交点を P とすると P(0, 6)。OP = 6。
    3. △OAB の面積 = △OPA + △OPB = (1/2)·6·2 + (1/2)·6·3 = 6 + 9 = 15 OP を底辺、A・B の x 座標の絶対値が高さ。
  3. fn-5-q3 グラフが点 (0, 2) を通り、 x が 2 増えると y が 3 増える一次関数の式を求めよ。
    答: y = (3/2)x + 2
    傾き = 3/2、切片 = 2。
  4. fn-5-q4 正方形 ABCD（一辺 6cm）の辺 AB 上を点 P が A から B へ毎秒 1cm で動く。出発から x 秒後（0 ≤ x ≤ 6）の △APD の面積を y cm² とする。y を x の式で表せ。
    答: y = 3x
    AP = x、AD = 6 が高さ、∠A = 90°。 △APD = (1/2)·x·6 = 3x。
  5. fn-5-q5 入試頻出 反比例 y = 6/x と直線 y = x + 1 の交点を求めよ。
    答: (2, 3) と (−3, −2)
    1. 連立: 6/x = x + 1 → 両辺 ×x: 6 = x2 + x
    2. x2 + x − 6 = 0 → (x + 3)(x − 2) = 0 → x = −3, 2
    3. x = 2 → y = 3、x = −3 → y = −2。検算: 6/2=3 ✓ 6/(−3)=−2 ✓
  6. fn-5-q6 入試頻出 放物線 y = x2 と直線 y = 2x + 8 の交点を求めよ。
    答: (4, 16) と (−2, 4)
    x² = 2x+8 → (x−4)(x+2)=0。 検算: 2·4+8=16 ✓ −4+8=4 ✓
  7. fn-5-q7 放物線 y = x2 上の 2 点 A(−1, 1)、B(2, 4) と原点 O について、△OAB の面積を求めよ。
    答: 3
    1. 直線 AB を求める。傾き = (4 − 1)/(2 − (−1)) = 1、切片: 1 = 1·(−1) + b → b = 2。 → y = x + 2
    2. 直線 AB と y 軸の交点 P(0, 2)。 OP = 2。
    3. △OAB = △OPA + △OPB = (1/2)·2·1 + (1/2)·2·2 = 1 + 2 = 3 A と B の x 座標の絶対値が高さ。
  8. fn-5-q8 反比例 y = 4/x と直線 y = x の交点を求めよ。
    答: (2, 2) と (−2, −2)（4/x = x → x² = 4 → x = ±2）
  9. fn-5-q9 ある物体の運動で、 t 秒後の位置 x m が x = 3t2 で表される。 3 秒後の位置を求めよ。
    答: 27 m（3·9 = 27）
  10. fn-5-q10 入試頻出 放物線 y = x2 上の 2 点 A(1, 1)、B(3, 9) と原点 O について、△OAB の面積を求めよ。
    答: 3
    1. 直線 AB を求める。傾き = (9−1)/(3−1) = 4、切片: 1 = 4·1 + b → b = −3 → y = 4x − 3
    2. 直線 AB と y 軸の交点 P(0, −3)。 OP = 3。
    3. △OAB = (1/2)·OP·|xB − xA| = (1/2)·3·(3−1) = 3 A, B が y 軸の同じ側にあるので、OP を底辺、x 座標の差が高さに相当。
📊 Unit 5— / 5 問苦手マップ →