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中学 方程式

「天秤の両辺を保つ」感覚で、x を求める。文章題は「文字で表してから」。

目次

Unit 1 — 一次方程式

x が 1乗 の方程式を、移項と等式の性質を使って解けるようになる。解の検算 までを習慣にする。

① 等式の性質（天秤のたとえ）

図 1-A：方程式は天秤、両辺に同じ操作
x + 3 10 = の左右はいつも同じ重さ 両辺から 3 を引いても、両辺を 2 で割っても、釣り合いは保たれる
「=」は 天秤の中心。両辺に同じ操作なら傾かない。それが等式の性質。

② 移項：「=」を超えると符号反転

x + 3 = 10　→　x = 10 − 3　→　x = 7

「+3 を左辺から消したい」→「両辺から 3 を引く」→ 結果として 右辺に −3 が現れる。これを 移項 という。

③ 解いたら必ず検算

x の値を元の方程式に代入し、左辺＝右辺 になるか確認する。これを習慣にすれば計算ミスがほぼ消える。

分数・小数があったら、まず両辺に掛けて整数化

x/2 + 1 = 3 なら 両辺 × 2 → x + 2 = 6。
0.5x = 1.3 なら 両辺 × 10 → 5x = 13。
整数だけの方程式 にしてから解くと、ミスが激減する。

④ 練習問題

練習問題 — Unit 1 一次方程式（5問）

  1. eq-1-q1 次の方程式を解きなさい。
    (1) x + 5 = 12　(2) 3x − 4 = 8　(3) 5x = 2x + 9　(4) 7 − 2x = 3
    答: (1) x = 7　(2) x = 4　(3) x = 3　(4) x = 2
    1. (1) 5 を右辺へ: x = 12 − 5 = 7
    2. (2) −4 を右辺へ → 3x = 12、両辺 ÷3 → x = 4
    3. (3) 2x を左辺へ → 3x = 9、x = 3
    4. (4) 7 を右辺へ → −2x = −4、両辺 ÷(−2) → x = 2 負の数で割るときは符号反転。
  2. eq-1-q2 入試頻出 次の方程式を解きなさい。
    (1) 3(x − 2) = 2x + 1　(2) 2(x + 3) − 5 = 3(x − 1)
    答: (1) x = 7　(2) x = 4
    検算 (2) 左 2(4+3)−5 = 9、右 3(4−1) = 9 ✓
    1. (1) カッコを外す: 3x − 6 = 2x + 1 → x = 7
    2. (2) 2x + 6 − 5 = 3x − 3 → 2x + 1 = 3x − 3 → −x = −4 → x = 4
  3. eq-1-q3 分数を含む方程式を解きなさい。
    (1) x3 + 1 = 5 (2) x − 12 = x + 34 (3) x2 − x3 = 1
    答: (1) x = 12　(2) x = 5　(3) x = 6
    1. (1) 両辺 ×3: x + 3 = 15 → x = 12
    2. (2) 両辺 ×4: 2(x − 1) = x + 3 → 2x − 2 = x + 3 → x = 5
    3. (3) 両辺 ×6: 3x − 2x = 6 → x = 6 分母 2 と 3 の最小公倍数 6 を掛ける。
  4. eq-1-q4 小数を含む方程式を解きなさい。
    (1) 0.5x − 0.2 = 1.3　(2) 0.3(x − 1) = 0.5x − 0.1
    答: (1) x = 3　(2) x = −1
    (1) 両辺×10: 5x − 2 = 13 → x = 3。
    (2) 両辺×10: 3(x−1) = 5x − 1 → 3x−3 = 5x−1 → −2x = 2 → x = −1。
    検算 (2) 左 0.3(−2)=−0.6、右 0.5(−1)−0.1=−0.6 ✓
  5. eq-1-q5 入試頻出 方程式 2x + a = 5 − 3x の解が x = 2 であるとき、a の値を求めなさい。
    答: a = −5
    1. 解を そのまま代入: 2(2) + a = 5 − 3(2) 「解」とは「代入すると等式が成り立つ x の値」。
    2. 4 + a = 5 − 6 → 4 + a = −1 → a = −5
  6. eq-1-q6 次の方程式を解きなさい。
    (1) 4x + 3 = 2x − 5 (2) 5 − 3x = 7 + x (3) −2x + 1 = 5 − 6x
    答: (1) x = −4　(2) x = −12　(3) x = 1
    (2) −4x = 2 → x = −1/2。(3) 4x = 4 → x = 1。
  7. eq-1-q7 次の方程式を解きなさい。
    x + 13 − x − 24 = 1
    答: x = 2　検算: 3/3 − 0/4 = 1 ✓
    1. 両辺 × 12: 4(x+1) − 3(x−2) = 12
    2. 展開: 4x + 4 − 3x + 6 = 12 → x + 10 = 12 → x = 2 −3(x−2) の符号反転に注意。
  8. eq-1-q8 方程式 4x − a = 2x + 6 の解が x = 3 のとき、a の値を求めなさい。
    答: a = 0（12 − a = 12 → a = 0）
  9. eq-1-q9 比例式を満たす x を求めなさい。
    (1) 3 : 4 = x : 8　(2) x : 9 = 2 : 3
    答: (1) x = 6　(2) x = 6
    1. 比例式 a : b = c : d ⇔ ad = bc（内項の積 = 外項の積）
    2. (1) 3·8 = 4x → x = 6
    3. (2) 3x = 18 → x = 6
  10. eq-1-q10 ある数 x の 5 倍 から 3 を引いた値が、 もとの数の 2 倍 に 9 を加えた値と等しい。 x を求めなさい。
    答: x = 4
    式: 5x − 3 = 2x + 9 → 3x = 12 → x = 4。 検算: 5·4−3=17, 2·4+9=17 ✓
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Unit 2 — 連立方程式

2 本 の方程式から、x と y を 同時 に求められるようになる。加減法と代入法。

① 加減法 — 一方の文字を消す

図 2-A：足したり引いたりで文字を消す
{ x + y = 7　…① { x − y = 3　…② ①＋② 2x = 10 → x = 5 x = 5 を ① に代入 → 5 + y = 7 → y = 2 検算: 5 + 2 = 7 ✓　5 − 2 = 3 ✓
2 本の式を足すと y が消える。これが加減法の力。

② 代入法 — 「y=…」「x=…」の形を代入する

y = 2x − 1 のように 1文字が独立しているとき、もう片方の式に代入すれば文字を消せる。

加減法 vs 代入法 どっちを使う?

  • 係数が そろえやすい（例：x の係数が両方 2 とか、片方を整数倍で揃えられる） → 加減法
  • 「y = …」「x = …」の形が すでに与えられている → 代入法

③ 練習問題

練習問題 — Unit 2 連立方程式（5問）

  1. eq-2-q1 加減法で解きなさい。
    { x + y = 7,　x − y = 3 }
    答: x = 5, y = 2　検算: 5+2=7 ✓ 5−2=3 ✓
  2. eq-2-q2 入試頻出 加減法で解きなさい。
    { 2x + 3y = 12,　3x − y = 7 }
    答: x = 3, y = 2　検算: 6+6=12 ✓ 9−2=7 ✓
    1. y を消すために、下の式を 3 倍: 9x − 3y = 21
    2. 上の式と足す: 2x + 3y + 9x − 3y = 12 + 21 → 11x = 33 → x = 3
    3. 下の式に代入: 9 − y = 7 → y = 2
  3. eq-2-q3 代入法で解きなさい。
    { y = 2x − 1,　3x + y = 14 }
    答: x = 3, y = 5
    下の式に y = 2x−1 を代入: 3x + (2x − 1) = 14 → 5x = 15 → x = 3、y = 5。
  4. eq-2-q4 分数を含む連立を解きなさい。
    { x2 + y3 = 5,　x + y = 12 }
    答: x = 6, y = 6　検算: 3 + 2 = 5 ✓ 6+6=12 ✓
    1. 上の式 ×6: 3x + 2y = 30
    2. 下の式から y = 12 − x。代入: 3x + 2(12 − x) = 30 → x + 24 = 30 → x = 6, y = 6
  5. eq-2-q5 入試頻出 次を解きなさい（A = B = C 型）。
    3x + y = x − y = 8
    答: x = 4, y = −4
    1. 2 本の連立に分ける: 3x + y = 8 と x − y = 8 A=B=C は「A=C」「B=C」の2本に分解できる。
    2. 足す: 4x = 16 → x = 4
    3. 代入: 4 − y = 8 → y = −4
  6. eq-2-q6 加減法で解きなさい。
    { x + 2y = 7,　3x − 2y = 5 }
    答: x = 3, y = 2
    y の係数の符号が逆 → 足すと y が消える: 4x = 12 → x = 3、 y = 2。検算 3+4=7 ✓ 9−4=5 ✓
  7. eq-2-q7 入試頻出 加減法で解きなさい。
    { 3x − 2y = 4,　2x + 3y = 7 }
    答: x = 2, y = 1
    1. y を消すために、上 × 3 + 下 × 2: 9x − 6y = 12、 4x + 6y = 14
    2. 足す: 13x = 26 → x = 2
    3. 代入: 6 − 2y = 4 → y = 1。 検算: 4 + 3 = 7 ✓
  8. eq-2-q8 代入法で解きなさい。
    { 2x + y = 5,　y = 3x − 5 }
    答: x = 2, y = 1
    上に y = 3x−5 を代入: 2x + 3x − 5 = 5 → 5x = 10 → x = 2、 y = 1。
  9. eq-2-q9 入試頻出 りんご 5 個 と みかん 3 個 の代金が 740 円。 りんご 2 個 と みかん 6 個 の代金が 680 円。 りんご 1 個 と みかん 1 個 の値段を求めなさい。
    答: りんご 100 円、 みかん 80 円
    1. りんごを a、みかんを b とおく。 5a + 3b = 740、 2a + 6b = 680
    2. 下 ÷ 2: a + 3b = 340。 上から引く: 4a = 400 → a = 100
    3. 代入: b = (340 − 100) ÷ 3 = 80。 検算: 500+240=740 ✓ 200+480=680 ✓
  10. eq-2-q10 連立方程式 { ax + y = 7,　x + by = 5 } の解が x = 2, y = 1 であるとき、a と b の値を求めなさい。
    答: a = 3, b = 3
    ① 2a + 1 = 7 → a = 3。 ② 2 + b = 5 → b = 3。
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Unit 3 — 一次方程式の利用（文章題）

文章 → 「何を x にする?」を決める → 式を立てる → 解く → 答えが現実的か確認、の流れを身につける。

① 文章題の3ステップ

図 3-A：文章題は「読む→おく→立てる」
① 何を x にする? 求めたい量に x ② 式を立てる 数量の関係を = で結ぶ ③ 解いて確かめる 答えは現実的か? マイナスの人数、小数のリンゴ → 何かを間違えている
「何を x にするか」を決めれば、文章題の半分は終わったようなもの。

② 練習問題

練習問題 — Unit 3 一次方程式の利用（5問）

  1. eq-3-q1 連続する 3 つの整数があり、その和が 48 である。もっとも小さい整数を求めなさい。
    答: 15（15, 16, 17 で和 48）
    1. もっとも小さい整数を n とおく。連続する3整数は n, n+1, n+2。
    2. 和 n + (n+1) + (n+2) = 48 → 3n + 3 = 48 → n = 15
    3. 検算: 15+16+17 = 48 ✓
  2. eq-3-q2 家から学校まで、歩くと 20 分、走ると 12 分かかる。歩く速さが 分速 60m のとき、走る速さは 分速何 m か。
    答: 分速 100m
    道のり = 60 × 20 = 1200m。走る速さ = 1200 ÷ 12 = 100 m/分。検算: 100×12=1200 ✓
  3. eq-3-q3 入試頻出 子どもにえんぴつを配る。1人に 4本 ずつ配ると 7本 余り、1人に 5本 ずつ配ると 6本 足りない。子どもの人数とえんぴつの本数を求めなさい。
    答: 子ども 13 人、えんぴつ 59 本
    1. 子どもの人数を x 人とおく。えんぴつの本数を 2 通りで表す。
    2. 4本ずつだと 7本余り → 本数 = 4x + 7
    3. 5本ずつだと 6本足りない → 本数 = 5x − 6
    4. イコールで結ぶ: 4x + 7 = 5x − 6 → x = 13。本数 = 4(13)+7 = 59
    5. 検算: 5(13)−6 = 65−6 = 59 ✓
  4. eq-3-q4 入試頻出 8 % の食塩水 200g に水を何 g 加えると、5 % の食塩水になるか。
    答: 120 g
    1. もとの食塩の量を計算: 200 × 0.08 = 16 g 水を加えても 食塩の量は変わらない。これがコツ。
    2. 加える水の量を x g とおく。全体は (200+x) g、食塩は 16 g のまま。
    3. 5 % の式: 16200 + x = 0.05 → 16 = 0.05(200 + x)
    4. 16 = 10 + 0.05x → 0.05x = 6 → x = 120
    5. 検算: 16 / 320 = 0.05 ✓
  5. eq-3-q5 弟が家を 7:50 に出て、分速 70m で学校へ向かった。兄は 5 分後に同じ道を 分速 120m で追いかけた。兄が弟に追いつくのは何時何分か。
    答: 8 時 02 分
    1. 兄が出発してから追いつくまでの時間を x 分とおく。
    2. 兄の進んだ距離 = 120x m
    3. 弟は 5 分先に出ているので、兄出発時に 70 × 5 = 350 m 先。
      兄出発から x 分後の弟の位置 = 350 + 70x m
    4. 追いつくとき距離が等しい: 120x = 350 + 70x → 50x = 350 → x = 7
    5. 兄出発は 7:55、その 7 分後 → 8:02。検算: 兄 120×7 = 840m、弟 70×12 = 840m ✓
  6. eq-3-q6 入試頻出 山の頂上まで上りは 時速 2 km、下りは 時速 4 km で歩いたら、往復に 412 時間 かかった。 山頂までの道のりを求めなさい。
    答: 6 km
    1. 山頂までの道のりを x km とする。上り x/2 時間、下り x/4 時間。
    2. x/2 + x/4 = 9/2。 両辺×4: 2x + x = 18 → 3x = 18 → x = 6
    3. 検算: 6/2 + 6/4 = 3 + 1.5 = 4.5 ✓
  7. eq-3-q7 ある中学校の生徒は男子が女子より 50 人多い。 男子は全体の 55 % にあたるとき、全生徒数を求めなさい。
    答: 500 人
    全体を x とすると 男子 0.55x、女子 0.45x。 差 = 0.1x = 50 → x = 500。 検算: 男 275, 女 225, 差 50 ✓
  8. eq-3-q8 3 教科のテストで、国語が 70 点、数学が 80 点だった。 3 教科の平均が 75 点のとき、英語の点数を求めなさい。
    答: 75 点　（(70 + 80 + e)/3 = 75 → e = 75）
  9. eq-3-q9 あるクラスでメガネをかけている人は、男子の 20 %、女子の 30 %。 男子 15 人、女子 20 人のとき、メガネをかけている人は何人か。
    答: 9 人（男子 0.2×15 = 3 人、女子 0.3×20 = 6 人、計 9 人）
  10. eq-3-q10 入試頻出 10 % の食塩水 200g と 4 % の食塩水 100g を混ぜると、 何 % の食塩水になるか。
    答: 8 %
    1. 食塩の合計: 200·0.10 + 100·0.04 = 20 + 4 = 24 g
    2. 食塩水の合計: 200 + 100 = 300 g
    3. 濃度: 24 / 300 = 0.08 = 8 %
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Unit 4 — 二次方程式

ax2 + bx + c = 0 を、平方根・因数分解・解の公式で解けるようになる。解は最大2個。

① 解き方は3つの道

図 4-A：二次方程式の3つの解法
① 平方根 x2 = a の形 x = ±√a (x−h)² = k の形にも 使える ② 因数分解 (x+a)(x+b)=0 x = −a, −b 「掛けて0」なら どちらかが 0 ③ 解の公式 ax² + bx + c = 0 x = −b ± √(b²−4ac) ───────── 2a
「因数分解できるか?」→「ダメなら解の公式」が基本ルート。x²=a の形は平方根が速い。

解の公式は必ず暗記

ax2 + bx + c = 0 　⇒ 　x = (−b ± √(b2 − 4ac)) ÷ 2a

分母は 2a。a を忘れない（2 だけにしないように）。
b2−4ac を 判別式 といい、これがマイナスだと「解なし」、0 だと「解は1つ」。

② 練習問題

練習問題 — Unit 4 二次方程式（5問）

  1. eq-4-q1 次の方程式を解きなさい。
    (1) x2 = 25　(2) x2 − 7 = 0　(3) (x − 3)2 = 16
    答: (1) x = ±5　(2) x = ±√7　(3) x = 7, −1
    (3) x−3 = ±4 → x = 7 または −1。
  2. eq-4-q2 因数分解で解きなさい。
    (1) x2 + 5x + 6 = 0　(2) x2 − 3x − 10 = 0　(3) x2 − 8x + 16 = 0
    答: (1) x = −2, −3　(2) x = 5, −2　(3) x = 4（重解）
    1. 左辺を因数分解 → (x+a)(x+b) = 0 なら x = −a または −b 掛けて 0 になるのは、どちらかが 0 のとき。
    2. (1) (x+2)(x+3) = 0 → x = −2 or −3
    3. (2) (x−5)(x+2) = 0 → x = 5 or −2
    4. (3) (x−4)2 = 0 → x = 4（解が1つ＝重解）
  3. eq-4-q3 入試頻出 解の公式で解きなさい。
    (1) x2 − 3x + 1 = 0　(2) 2x2 − 5x + 1 = 0
    答: (1) x = 3 ± √52　(2) x = 5 ± √174
    1. (1) a=1, b=−3, c=1 → 判別式 b2−4ac = 9 − 4 = 5
    2. (1) x = (3 ± √5)/(2·1) = (3 ± √5)/2
    3. (2) a=2, b=−5, c=1 → 判別式 25 − 8 = 17
    4. (2) x = (5 ± √17)/4 分母 = 2a = 4。a を忘れない。
  4. eq-4-q4 平方完成で解きなさい。
    x2 + 6x = 5
    答: x = −3 ± √14
    両辺に 9 を足す: x2+6x+9 = 14 → (x+3)2 = 14 → x+3 = ±√14
  5. eq-4-q5 入試頻出 二次方程式 x2 + ax − 6 = 0 の解の一つが x = 2 である。a の値と、もう一つの解を求めなさい。
    答: a = 1、もう一つの解 x = −3
    1. x = 2 を代入: 4 + 2a − 6 = 0 → a = 1
    2. 方程式は x2 + x − 6 = 0 → (x+3)(x−2) = 0 → x = −3, 2
    3. もう一つの解は −3。
  6. eq-4-q6 共通因数でくくって解きなさい。
    3x2 − 12x = 0
    答: x = 0, 4　（3x(x−4)=0）
  7. eq-4-q7 次を解きなさい。
    3x2 + 2x − 1 = 0
    答: x = 13, −1
    1. 因数分解で解ける: (3x − 1)(x + 1) = 0
    2. x = 1/3 または x = −1
    3. 解の公式でもよい: x = (−2 ± √(4+12))/6 = (−2 ± 4)/6 → 1/3, −1 ✓
  8. eq-4-q8 入試頻出 次を解きなさい。
    (x + 2)(x − 1) = 10
    答: x = −4, 3
    1. 右辺を 0 にする: 展開して整理。x2 + x − 2 = 10 → x2 + x − 12 = 0 右辺が 0 でない掛け算は「掛けて 0 ⇒ どちらかが 0」が使えない。
    2. 因数分解: (x + 4)(x − 3) = 0 → x = −4, 3
  9. eq-4-q9 次を解きなさい。
    x2 + 6x + 5 = 0
    答: x = −1, −5（(x+1)(x+5)=0）
  10. eq-4-q10 入試頻出 次を解きなさい。
    (x − 1)2 = 2x − 1
    答: x = 2 ± √2
    1. 左辺を展開: x2 − 2x + 1 = 2x − 1
    2. 右辺を移項: x2 − 4x + 2 = 0
    3. 解の公式: x = (4 ± √(16 − 8))/2 = (4 ± 2√2)/2 = 2 ± √2
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Unit 5 — 二次方程式の利用

面積・整数・動点の問題を、二次方程式で解けるようになる。「現実的な解」を選ぶ ことを忘れない。

解が2つ出ても、答えは1つの場合が多い

長さや人数は 正の値。マイナスの解が出たら捨てる。
「現実にありえない」値を選ばない判断が、文章題では特に大事。

練習問題 — Unit 5 二次方程式の利用（5問）

  1. eq-5-q1 連続する2つの正の整数があり、それぞれの2乗の和が 41 になる。2つの整数を求めなさい。
    答: 4 と 5（4² + 5² = 16 + 25 = 41 ✓）
    1. 小さい方を n とおく。n2 + (n+1)2 = 41
    2. 展開: 2n2 + 2n + 1 = 41 → n2 + n − 20 = 0
    3. 因数分解: (n+5)(n−4) = 0 → n = −5 or 4
    4. 正の整数なので n = 4。 → 4 と 5。
  2. eq-5-q2 入試頻出 縦が横より 3m 長い長方形の畑があり、その面積は 40 m² である。縦と横の長さを求めなさい。
    答: 横 5m、縦 8m（5 × 8 = 40 ✓）
    1. 横を x m とおく。縦 = x+3 m。x(x+3) = 40
    2. x2+3x−40 = 0 → (x+8)(x−5) = 0 → x = −8 or 5
    3. 長さは正なので x = 5、縦 = 8。
  3. eq-5-q3 縦 20m、横 30m の長方形の土地に、同じ幅 x m の通路を縦と横に十字に通したところ、残った畑の面積が 416 m² になった。x の値を求めなさい。
    答: x = 4 m
    1. 通路を端に寄せて考えると、残った畑は (20−x) × (30−x) の長方形。 通路を平行移動しても残りの面積は同じ。
    2. (20−x)(30−x) = 416 → 600 − 50x + x2 = 416 → x2−50x+184 = 0
    3. 解の公式: x = (50 ± √(2500−736))/2 = (50 ± 42)/2 = 46 または 4
    4. x は通路の幅なので 20 や 30 より小さい → x = 4。検算: 16 × 26 = 416 ✓
  4. eq-5-q4 縦 12cm、横 18cm の長方形 ABCD がある。点 P は A を出発して B 方向へ 毎秒 1cm、点 Q は同時に A を出発して D 方向へ 毎秒 2cm で動く。出発から x 秒後に △APQ の面積が 36 cm² になるとき、x の値を求めなさい。
    答: x = 6 秒後
    AP = x、AQ = 2x、∠A = 90° なので 面積 = (1/2)·x·2x = x²。
    x² = 36 → x = ±6、x > 0 なので x = 6。
    このとき P は AB 上 (AP=6 ≤ 12)、Q は AD 上 (AQ=12 ≤ 18) なので OK。
  5. eq-5-q5 ある正の数があり、その 2 乗から その数の 5 倍 を引くと 14 になる。この数を求めなさい。
    答: 7
    x2 − 5x = 14 → x2−5x−14 = 0 → (x−7)(x+2) = 0 → x = 7 or −2。
    正の数なので x = 7。検算: 49 − 35 = 14 ✓
  6. eq-5-q6 入試頻出 連続する 3 つの正の整数があり、それぞれの 2 乗の和が 50 である。 もっとも小さい整数を求めなさい。
    答: 3（3, 4, 5 で 9+16+25=50 ✓）
    1. もっとも小さいを n とおく: n2 + (n+1)2 + (n+2)2 = 50
    2. 展開: 3n2 + 6n + 5 = 50 → n2 + 2n − 15 = 0
    3. (n+5)(n−3) = 0 → 正なので n = 3
  7. eq-5-q7 縦 16cm、横 10cm の長方形の周りに、同じ幅 x cm の枠を取り付けたところ、外側全体の面積が 280 cm² になった。 x を求めなさい。
    答: x = 2 cm
    1. 外側全体は (16 + 2x) × (10 + 2x) = 280
    2. 展開: 160 + 52x + 4x2 = 280 → x2 + 13x − 30 = 0
    3. (x + 15)(x − 2) = 0 → 正なので x = 2。 検算: 20·14 = 280 ✓
  8. eq-5-q8 入試頻出 正方形 ABCD（1 辺 10 cm）の頂点 A から B へ点 P が 毎秒 2 cm、 B から C へ点 Q が 毎秒 1 cm で同時に動き出す。 x 秒後（0 < x < 5）に BP × BQ = 8 となる x を求めなさい。
    答: x = 1, 4 秒後
    1. BP = 10 − 2x、BQ = x。 (10 − 2x)·x = 8
    2. 10x − 2x2 = 8 → x2 − 5x + 4 = 0
    3. (x − 1)(x − 4) = 0 → x = 1, 4。 両方 0 < x < 5 なので両方解。 x=1: BP=8, BQ=1, 8·1=8 ✓ ; x=4: BP=2, BQ=4, 2·4=8 ✓
  9. eq-5-q9 放物線 y = x2 と直線 y = 4x − 3 の交点を求めなさい。
    答: (1, 1) と (3, 9)
    x2 = 4x − 3 → (x−1)(x−3) = 0 → x = 1, 3。 検算: 4−3=1 ✓ 12−3=9 ✓
  10. eq-5-q10 入試頻出 縦と横の長さの和が 14 m、面積が 45 m² の長方形がある。縦と横の長さを求めなさい。
    答: 5 m と 9 m
    縦を a とすると 横は 14−a。 a(14−a) = 45 → a2 − 14a + 45 = 0 → (a−5)(a−9) = 0 → 5 と 9（対称的）
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